Question

10．如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F(xiàn)為線段DE的中點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐C-BED的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD和AC交于O，連結(jié)OF，可證OF∥BE，從而可證明BE∥平面ACF．
（Ⅱ）由AB∥CD可得點B到面CDE的距離為2，可證CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，可求S_△BDE，設求三棱錐C-BED的高為h，根據(jù)V_C-BDE=V_B-CDE即可求三棱錐C-BED的高．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD和AC交于O，連結(jié)OF，…（1分）
∵ABCD為正方形，∴O為BD中點，
∵F為DE中點，∴OF∥BE，…（3分）
∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（4分）
（Ⅱ）AB∥CD，∴AB∥面CDE，⇒點B到面CDE的距離與點A到面CDE的距離相等，
∴點B到面CDE的距離為2，Rt△ADE中，AE=DE=2，
∴$AD=2\sqrt{2}$，BD=4，
∵$\left.{\begin{array}{l}{CD⊥AD}\\{AE⊥面CDE⇒CD⊥AE}\end{array}}\right\}⇒CD⊥面ADE∴AB⊥面ADE$，．…（8分）
∵$Rt△ABE中，AB=2\sqrt{2}，AE=2∴BE=2\sqrt{3}$，
∵$△BDE中，由余弦定理知cos∠BDE=\frac{1}{2}，sin∠BDE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${S_{△BDE}}=\frac{1}{2}×2×4•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}$，…（10分）
設三棱錐C-BED的高為h，根據(jù)V_C-BDE=V_B-CDE知$h=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和推論論證能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．