Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，且對(duì)任意的m，n∈N^*都有a_m+n=a_m+a_n+mn，則$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{{{a_{2016}}}}$等于$\frac{4032}{2017}$．

Answer 1

分析 令m=1代入已知的式子得a_n+1-a_n=n，結(jié)合條件和累加法求出a_n，代入$\frac{1}{{a}_{n}}$化簡(jiǎn)后利用裂項(xiàng)相消法求出式子的值．

解答 解：∵對(duì)任意的m，n∈N^*，都有a_m+n=a_m+a_n+mn，且a₁=1，
∴令m=1代入得，都有a_n+1=a₁+a_n+n，則a_n+1-a_n=n+1，
∴a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，…，a_n-a_n-1=n，
以上n-1個(gè)式子相加可得，a_n-a₁=2+3+4+…+n=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
則a_n=a₁+$\frac{1}{2}$（n-1）（n+2）=$\frac{1}{2}$n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=2（1-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4032}{2017}$
故答案為：$\frac{4032}{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．