Question

12．已知函數f（x）=e^x-t-lnx
（Ⅰ）若x=1是f（x）的極值點，求t的值，并討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當t≤2時，證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （I）由x=1是函數f（x）的極值點，可得f'（1）=0，進而可得t=1，求得導函數，進而可由導函數的符號與函數單調性的關系，可得函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）當t≤2，x∈（0，+∞）時，設g（x）=e^x-2-lnx，g′（x）=e^x-2-$\frac{1}{x}$，根據函數單調性及零點定理可知存在x₀∈（1，2）使得g′（x₀）=0，在x=x₀取極小值也是最小值，即g（x）≥g（x₀），lnx₀=2-x₀，根據函數的單調性可知g（x₀）=0，即可證明f（x）＞0．

解答 解：（Ⅰ）由函數f（x）的定義域（0，+∞），
因為f′（x）=e^x-t-$\frac{1}{x}$，x=1是f（x）的極值點，
所以f′（1）=e^1-t-1=0，所以t=1，
所以f′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，
因為y=e^x-1和y=-$\frac{1}{x}$，在（0，+∞）上單調遞增，
所以f′（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴當x＞1時，f′（x）＞0；0＜x＜1時，f′（x）＜0，
此時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，1），單調遞增區(qū)間為（1，+∞），
（Ⅱ）證明：當t≤2時，f（x）=e^x-t-lnx≥e^x-2-lnx，
設g（x）=e^x-2-lnx，則g′（x）=e^x-2-$\frac{1}{x}$，
因為y=e^x-2和y=-$\frac{1}{x}$，在（0，+∞）上單調遞增，
所以g′（x）在（0，+∞）上單調遞增，
因為g′（1）=$\frac{1}{e}$-1＜0，g′（2）=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$＞0，
所以存在x₀∈（1，2）使得g′（x₀）=0，
所以在（0，x₀）上使得g′（x）＜0，在（x₀，+∞）上g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，x₀）單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增，
所以g（x）≥g（x₀），
因為g′（x₀）=0，即e^x₀-2=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
所以lnx₀=2-x₀，
所以g（x₀）=e^x₀-2-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2，
因為x₀∈（1，2），所以g（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2＞2-2=0，
所以f（x）＞0．

點評 本題考查利用導數求函數的單調性及極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．