Question

拋物線y²=4x的焦點為F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0）在拋物線上，且存在實數λ，使

AF

+λ

BF

=0，|

AB

|=

25

4

．
（1）求直線AB的方程；
（2）求△AOB的外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的準線方程，根據

AF

+λ

BF

=0可得到A，B，F三點共線，再由拋物線的定義可表示出|

AB

|，再設直線AB方程后與拋物線方程進行聯立消去y得到關于x的方程，進而可得到兩根之和與兩根之積，代入到|

AB

|的表達式中可求出最后k的值，進而得到直線AB的方程．
（2）由（1）中求得的直線方程與拋物線聯立可求出A，B的坐標，然后設圓的一般式方程，用待定系數法求出D，E，F的值，得到答案．

解答：解：（1）拋物線y²=4x的準線方程為x=-1．
∵

AF

+λ

BF

=0，
∴A，B，F三點共線．
由拋物線的定義，得|

AB

|=x₁+x₂+2．
設直線AB：y=k（x-1），而k=

y1-y2

x1-x2

，x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0．∴k＞0
由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∴

x1+x2= 2(k2+2) k2 x1•x2=1

|

AB

|=x₁+x₂+2=

2(k2+2)

k2

+2=

25

4

．
∴k2=

16

9

．
從而k=

4

3

，
故直線AB的方程為y=

4

3

(x-1)，
即4x-3y-4=0．
（2）由

4x-3y-4=0 y2=4x

求得A（4，4），B（

1

4

，-1）．
設△AOB的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

F=0 16+16+4D+4E+F=0 1 16 +1+ 1 4 D+(-E)+F=0

解得

D=- 29 4 E=- 3 4 F=0

故△AOB的外接圓的方程為x2+y2-

29

4

x-

3

4

y=0．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．考查綜合運用能力．