Question

4．己知圓C：x²+y²+2x-3=0，直線l：x+y+t=0．
（1）若直線l與圓C相切，求t的值；
（2）若直線1與圓C相交于M、N兩點，且|MN|=$\sqrt{14}$，求直線1在x軸上的截距；
（3）已知點A（2，1），問是否存在實數(shù)t，當1與圓C相交于M、N兩點時MA⊥NA？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出圓C的圓心C（-1，0），半徑r=2，圓心C（-1，0）到直線l：x+y+t=0的距離d=$\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}$，由直線l與圓C相切，能求出t．
（2）求出圓心到直線l：x+y+t=0的距離，利用勾股定理，建立方程，求出t，即可求直線l在x軸上的截距；
（3）圓C：x²﹢y²+2x-3=0，直線l：x+y+t=0，消去y可得2x²+（2t+2）x+t²-3=0，利用韋達定理，結合斜率公式，利用k_MA•k_MB=-1，即可得出結論

解答 解：（1）圓C：x²+y²+2x-3=0，直線l：x+y+t=0，
圓C的圓心C（-1，0），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+12}$=2，
圓心C（-1，0）到直線l：x+y+t=0的距離d=$\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}$，
∵直線l與圓C相切，
∴$\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}$=2，
解得t=1+2$\sqrt{2}$，或t=1-2$\sqrt{2}$．
（2）圓C：x²﹢y²+2x-3=0的圓心為（-1，0），半徑為2，
圓心到直線l：x+y+t=0的距離為$\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}$，
∵|MN|=$\sqrt{14}$，
∴4-（$\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{14}{4}$，
∴t=2或0，
∴直線l的方程為x+y+2=0或x+y=0，
令y=0，可得直線l在x軸上的截距為-2或0．
（3）設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則
圓C：x²﹢y²+2x-3=0，直線l：x+y+t=0，消去y可得2x²+（2t+2）x+t²-3=0，
∴x₁+x₂=-（t+1），x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-3}{2}$，
∴y₁+y₂=-t+1，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-2t-3}{2}$，
∵點A（2，1），MA⊥NA，
∴k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=$\frac{\frac{{t}^{2}-2t-3}{2}+t-1+1}{\frac{{t}^{2}-3}{2}+2t+2+4}$=-1，
∴t²+2t+3=0，
∴△=4-12=-8＜0，
∴不存在t，使時MA⊥NA．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．