Question

14．下列命題中真命題的是（1）（2）（3）（4）  （寫出所有真命題的序號）
（1）命題“若x=3，則x²-7x+12=0”及其逆命題，否命題，逆否命題中正確的有2個．
（2）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，則a²+4b²+9c²的最小值為12．
（3）回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．
（4）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則$\frac{c+1}{a+b+c+1}$＜$\frac{a+b+1}{2（a+b）+1}$．

Answer 1

分析 由互為逆否命題的兩個命題共真假判斷（1）；
利用柯西不等式求得a²+4b²+9c²的最小值判斷（2）；
根據(jù)回歸分析的定義可判斷（3）；
在三角形中，由a+b＞c，得a+b-c＞0，則（a+b）（a+b-c）＞0，進一步a²+b²+2ab-ac-bc＞0，整理得[2（a+b）+1]（c+1）＜（a+b+1）（a+b+c+1），
不行可得$\frac{c+1}{a+b+c+1}$＜$\frac{a+b+1}{2（a+b）+1}$，得到（4）正確．

解答 解：對于（1），原命題“若x=3，則x²-7x+12=0”，則
其逆命題是“若x²-7x+12=0，則x=3”； 
否命題是“若x≠3，則x²-7x+12≠0”；
逆否命題是“若x²-7x+12≠0，則x≠3”．
當x=3時，x²-7x+12=0成立，即原命題正確，因此逆否命題也正確；
而x=4時，x²-7x+12=0成立，∴由x≠3，推不出x²-7x+12≠0，即否命題是錯誤的，因此逆命題也是錯誤的，
可知四個命題中，正確的命題有2個，故（1）正確；
對于（2），根據(jù)柯西不等式，得（a+2b+3c）²=（1×a+1×2b+1×3c）²≤（1²+1²+1²）[a²+（2b）²+（3c）²]，
化簡得6²≤3（a²+4b²+9c²），即36≤3（a²+4b²+9c²），∴a²+4b²+9c²≥12，
當且僅當a：2b：3c=1：1：1時，即a=2，b=1，c=$\frac{2}{3}$時等號成立，由此可得：當且僅當a=2，b=1，c=$\frac{2}{3}$時，a²+4b²+9c²的最小值為12，故（2）正確；
對于（3），根據(jù)回歸分析的定義可知（3）正確；
對于（4），在△ABC中，∵a+b＞c，∴a+b-c＞0，則（a+b）（a+b-c）＞0，得a²+b²+2ab-ac-bc＞0，
∴[2（a+b）+1]（c+1）＜（a+b+1）（a+b+c+1），得$\frac{c+1}{a+b+c+1}$＜$\frac{a+b+1}{2（a+b）+1}$，故（4）正確．
∴真命題的是：（1）（2）（3）（4）．
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了不等式的應用，是中檔題．