Question

14．在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y+x≤t}\\{y+2x≤4}\\{\;}\end{array}\right.$下，當(dāng)t≥0時(shí)，其所表示的平面區(qū)域的面積為S（t），S（t）與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，正確的應(yīng)該是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用分類討論分別求出當(dāng)t取不同值時(shí)，對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積，利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
當(dāng)直線y+x=t經(jīng)過(guò)C（2，0）時(shí)，此時(shí)t=2，
即當(dāng)0＜t≤2時(shí)，陰影部分為三角形OAB，
此時(shí)A（t，0），B（0，t），
則平面區(qū)域的面積為S（t）=$\frac{1}{2}$t²，為開(kāi)口向上的拋物線的一段，
當(dāng)直線y+x=t經(jīng)過(guò)G（0，4）時(shí)，此時(shí)t=4，
當(dāng)t≥4時(shí)，對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿�角形OCG，此時(shí)G（0，4），C（2，0），
此時(shí)三角形的面積為S（t）=$\frac{1}{2}$×2×4=4為定值，排除B，D，
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，此時(shí)平面區(qū)域?yàn)樗倪呅蜲CEF，
此時(shí)F（0，t），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=t}\\{y+2x=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4-t}\\{y=2t-4}\end{array}\right.$，即E（4-t，2t-4），
此時(shí)四邊形OCEF的面積S=S_△OCG-S_△GFE=4-$\frac{1}{2}$（4-t）（4-t）=4-$\frac{1}{2}$（t-4）²，為開(kāi)口向下的拋物線，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查函數(shù)作圖的能力，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出對(duì)應(yīng)的區(qū)域以及對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．