Question

18．己知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ln（-x）．數(shù)列{x_n}（x_n＜0）的第一項x₁=-$\frac{2}{3}$，其前n項和為S_n，以后各項及S_n均按如下方式給定：曲線y=f（x）在點（S_n，f（S_n））處的切線的斜率為x_n-2（n≥2，n∈N⁺）．
（1）試計算S₁、S₂、S₃、S₄，并由此猜想S_n（只含n）的表達式；
（2）證明（1）的猜想，并求出數(shù)列{x_n}的通項．

Answer 1

分析 （1）先求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=x_n-2，令n=2，得S₂+$\frac{1}{{S}_{2}}$=x₂-2=S₂-x₁-2，由此求出S₂=-$\frac{3}{4}$，同理，求得S₃、S₄，猜想S_n =-$\frac{n+1}{n+2}$，n∈N₊，
（2）然后利用數(shù)學歸納法進行證明，x_n=-$\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}$，需要驗證n=1時是否成立，由此數(shù)列{x_n}的通項．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ln（-x），
∴f′（x）=x+$\frac{1}{x}$，x＜0，
∵曲線y=f（x）在點（S_n，f（S_n））處的切線的斜率為x_n-2，
∴f′（S_n）=S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=x_n-2，
∵x₁=-$\frac{2}{3}$，
∴令n=2，得S₂+$\frac{1}{{S}_{2}}$=x₂-2=S₂-x₁-2，
∴$\frac{1}{{S}_{2}}$=$\frac{2}{3}$-2=-$\frac{4}{3}$，
∴S₂=-$\frac{3}{4}$，
同理，求得S₃=-$\frac{4}{5}$，S₄=-$\frac{5}{6}$．
（2）猜想S_n =-$\frac{n+1}{n+2}$，n∈N₊，
下邊用數(shù)學歸納法證明：
①當n=2時，S₂=a₁+a₂=-$\frac{3}{4}$，猜想成立．
②假設(shè)當n=k時猜想成立，即S_K=-$\frac{k+1}{k+2}$，
則當n=k+1時，∵S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=x_n-2，
∴S_k+1+$\frac{1}{{S}_{k+1}}$=x_k+1-2，
∴S_k+1+$\frac{1}{{S}_{k+1}}$=S_k+1-S_k-2，
∴$\frac{1}{{S}_{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+2}$-2=$\frac{-k-3}{k+2}$
∴S_k+1=-$\frac{k+2}{k+3}$
∴當n=k+1時，猜想仍然成立．
綜合①②可得，猜想對任意正整數(shù)都成立，
即 S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$，n∈N₊成立．
由S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=x_n-2，S_n =-$\frac{n+1}{n+2}$，
∴x_n=2-$\frac{n+1}{n+2}$-$\frac{n+2}{n+1}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}$，
當n=1時，x₁=-$\frac{1}{6}$≠-$\frac{2}{3}$
故x_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}，n=1}\\{-\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}，n≥2}\end{array}\right.$

點評 本題考查導數(shù)的運算法則，和導數(shù)的幾何意義，以及數(shù)列通項公式的求法，解題時要認真審題，注意數(shù)學歸納法的合理運用，是中檔題．