Question

13．如圖，直角三角形ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)F在斜邊AB上，且AB=4AF．D，E是平面ABC同一側(cè)的兩點(diǎn)，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD=3，AC=BE=4．
（Ⅰ）求證：平面CDF⊥平面CEF；
（Ⅱ）點(diǎn)M在線段BC上，異面直線CF與EM所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$，求CM的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理得CF=2$\sqrt{3}$且CF⊥AB，AD⊥CF，從而CF⊥平面DABE，∠DFE為二面角D-CF-E的平面角．推導(dǎo)出∠DFE=90°，由此能證明平面CDF⊥平面CEF．
（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用向量法能求出a的值．

解答 證明：（Ⅰ）∵直角三角形ABC中，∠BAC=60°，AC=4
∴AB=8，AF=$\frac{1}{4}$AB=2，由余弦定理得CF=2$\sqrt{3}$且CF⊥AB．
∵AD⊥平面ABC，CF?平面ABC，∴AD⊥CF，
又AD∩AB=A，∴CF⊥平面DABE，
∴CF⊥DF，CF⊥EF．
∴∠DFE為二面角D-CF-E的平面角．
又AF=2，AD=3，BE=4，BF=6，
故Rt△ADF∽Rt△BFE．∴∠ADF=∠BFE，
∴∠AFD+∠BFE=∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠DFE=90°，D-CF-E為直二面角．
∴平面CDF⊥平面CEF．…（6分）
解：（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則C（0，0，0），B（0，4$\sqrt{3}$，0），E（0，4$\sqrt{3}$，4），
F（3，$\sqrt{3}$，0），M（0，a，0），（0≤a≤4$\sqrt{3}$）
∴$\overrightarrow{CF}$=（3，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EM}$=（0，a-4$\sqrt{3}$，-4），
∵異面直線CF與EM所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$，
∴|cos?$\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{EM}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{EM}|}{|\overrightarrow{CF}|•|\overrightarrow{EM}|}$=$\frac{\sqrt{3}（4\sqrt{3}-a）}{2\sqrt{3}•\sqrt{（4\sqrt{3}-a）2+16}}$=$\frac{1}{4}$，
解得a=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，故CM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，注意向量法的合理運(yùn)用．