Question

3．設(shè)f（x）=2cos²x+4asinx+a-3．
（1）若x∈R時(shí)，f（x）的最大值為1，求a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）y=2cos²x+4asinx+a-3=2a²+a-1-2（sinx-a）²，分類討論，當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1，當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1-2 （-1-a）²=-3a-3； 當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1-2 （1-a）²=5a-3．代入求得a的值．
（2）令 sinx=t，由0≤x≤π，得0≤sinx≤1，由題意可得g（t）=2a²+a-1-2（t-a）²，的圖象在[0，1）上與橫軸．

解答 解：（1）y=2cos²x+4asinx+a-3
=2a²+a-1-2（sinx-a）²，
當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1，f（x）的最大值為1，
∴a=$\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$；
當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1-2（-1-a）²=-3a-3，f（x）的最大值為1，
∴a=$-\frac{4}{3}$，
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)最大值M（a）=2a²+a-1-2（1-a）²=5a-3，f（x）的最大值為1，
a=$\frac{4}{5}$（舍去）；
（2）若f（x）=0在[0，π]上有2個(gè)解，令 sinx=t，
∵0≤x≤π，
∴0≤sinx≤1，
∴0≤t≤1．
由于當(dāng)t在[0，1）上任意取一個(gè)值，x在[0，π）]上都有2個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，
當(dāng)t=1時(shí)，只有一個(gè)x=$\frac{π}{2}$與之對(duì)應(yīng)．
故由題意f（x）=0在[0，π]有2個(gè)解，
可得關(guān)于t的函數(shù) g（t）=2a²+a-1-2（t-a）² =-2t²+4at+a-1，
∴g（x）的圖象在[0，1）上，與橫軸只能有一個(gè)交點(diǎn)，
即關(guān)于t的方程 g（t）=0在[0，1）上有唯一解．
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=16{a}^{2}+8a-8=0}\\{0≤a＜1}\\{g（0）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}或a=-1}\\{0＜a＜1}\\{a-1≤0}\\{5a-3＜0}\end{array}\right.$，
即a=$\frac{1}{2}$，
故a的取值范圍是{$\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二次函數(shù)的最值問題，令 sinx=t，判斷g（t）=2a²+a-1-2（t-a）²，在[0，1]上，與橫軸有兩個(gè)交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．