Question

2．已知{a_n}（n=1，2，3，…）是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為A，第n項之后各項a_n+1，a_n+2…的最小值記為B_n，d_n=A_n-B_n．
（1）若{a_n}滿足a₁=3，當(dāng)n≥2時，a_n=3ⁿ-1，寫出d₁，d₂，d₃的值；
（2）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：d_n=-d的充分必要條件為{a_n}是公差為d的等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由a_n}滿足a₁=3，當(dāng)n≥2時，a_n=3ⁿ-1，可知數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．可得A_n，B_n，d_n=A_n-B_n．
（2）充分性：設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，d是非負(fù)整數(shù)．則A_n=a_n，B_n=a_n+1，即可得出．
必要性：若 d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．假設(shè)a_k是第一個使a_k-a_k-1＜0的項，則d_k=A_k-B_k=a_k-1-B_k≥a_k-1-a_k＞0，這與d_n=-d≤0相矛盾，故{a_n}是一個不減的數(shù)列．即可證明．

解答 （1）解：∵a_n}滿足a₁=3，當(dāng)n≥2時，a_n=3ⁿ-1，可知數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．
∴當(dāng)n=1時，A₁=a₁=3；B₁=a₂=3²-1=8，d₁=A₁-B₁=3-8=-5．
當(dāng)n=2時，A₂=a₂=8；B₂=a₃=3³-1=26，d₂=A₂-B₂=8-26=-18．
當(dāng)n=3時，A₃=a₃=26；B₃=a₄=3⁴-1=80，d₃=A₃-B₃=26-80=-54．
（2）證明：充分性：設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，d是非負(fù)整數(shù)．
則A_n=a_n，B_n=a_n+1，∴d_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-d．
必要性：若 d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．假設(shè)a_k是第一個使a_k-a_k-1＜0的項，
則d_k=A_k-B_k=a_k-1-B_k≥a_k-1-a_k＞0，這與d_n=-d≤0相矛盾，故{a_n}是一個不減的數(shù)列．
∴d_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-d，即 a_n+1-a_n=d，故{a_n}是公差為d的等差數(shù)列．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、新定義、反證法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．