Question

7．已知α，β是銳角，α+β≠$\frac{π}{2}$，且滿足3sinβ=sin（2α+β）．
（1）求證：tan（α+β）=2tanα；
（2）求證：tanβ$≤\frac{\sqrt{2}}{4}$，并求等號(hào)成立時(shí)tanα與tanβ的值．

Answer 1

分析 （1）把條件3sinβ=sin（2α+β）中的角都用所要證明的結(jié)論中的角表示為3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]；再利用兩角和與差的正弦公式展開(kāi)，整理即可證明結(jié)論；
（2）先由（1）得tanβ=tan[（α+β）-α]=$\frac{tan（α+β）-tanα}{1+tan（α+β）tanα}=\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}=\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$，再利用基本不等式求出分母的最值；即可求出tanβ的最大值，并求出其取最大值時(shí)tanα的值．

解答 證明：（1）由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
得sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∵α、β是銳角，α+β≠$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{sin（α+β）cosα}{cos（α+β）cosα}=\frac{2cos（α+β）sinα}{cos（α+β）cosα}$，得tan（α+β）=2tanα；
（2）∵tanβ=tan[（α+β）-α]=$\frac{tan（α+β）-tanα}{1+tan（α+β）tanα}=\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}=\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$，
又∵α是銳角，
∴$\frac{1}{tanα}+2tanα$≥2$\sqrt{\frac{1}{tanα}•2tanα}=2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{tanα}$=2tanα?xí)r取等號(hào)，
此時(shí)tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故tanβ≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴當(dāng)tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tanβ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，在三角恒等式的證明中，一般都是把已知條件與所證結(jié)論相結(jié)合，即要看條件，又要分析條件和結(jié)論之間的關(guān)系，是中檔題．