Question

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）＞2x的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的根，求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的最大值不小于8，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：待定系數(shù)法,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出二次函數(shù)f（x）的一般式，根據(jù)不等式的解即為方程的根，求出a，b，c的關(guān)系式，再根據(jù)方程有兩相等的實(shí)根的條件：判別式為0，解出a，從而得出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）配方，求出函數(shù)f（x）的最大值，再解不等式，注意a＜0．

解答： 解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
則f（x）＞2x?ax²+（b-2）x+c＞0．
已知其解集為（1，3），
∴

a＜0 - b-2 a =4?b=2-4a c a =3?c=3a

∴f（x）=ax²+（2-4a）x+3a．
（1）若f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的根，
 故ax²-（4a-2）x+9a=0，
△=4+16a²-16a-36a²=0，
解得a=-1或

1

5

（舍去正值），
∴a=-1即f（x）=-x²+6x-3；
（2）由以上可知f（x）=a（x-

2a-1

a

）²+

-a2+4a-1

a

，
∴f（x）_max=

-a2+4a-1

a

≥8，
得a²-4a+1≥-8a?a²+4a+1≥0，
解得a≥-2+

3

或a≤-2-

3

  
又∵a＜0，
∴a的取值范圍是（-∞，-2-

3

）∪[-2+

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法：待定系數(shù)法，同時(shí)考查二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二次不等式的解法，二次函數(shù)的最值及應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，是一道好題．