Question

已知直線y=kx+1與雙曲線x²-y²=1的左支相交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)M，定點(diǎn)C（-2，0）．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）求直線MC在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由直線y=kx+1代入雙曲線x²-y²=1，可得（1-k²）x²+2kx-2=0，再直線y=kx+1與雙曲線x²-y²=1的左支相交于不同的兩點(diǎn)A，B，利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出k的取值范圍．
（2）由直線l經(jīng)過C（-2，0）及線段AB的中點(diǎn)M，知直線MC的方程為x-（-2k²+k+2）y+2=0，令x=0，解得直線l在y軸上的截距b=

2

-2k2+k+2

．設(shè)f（k）=-2k²+k+2=-2（k-

1

4

）²+

17

8

，則f（k）在（1，

2

）上是減函數(shù)，由此能求出直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

解答： 解：（1）直線y=kx+1代入雙曲線x²-y²=1，可得（1-k²）x²-2kx-2=0，
∵直線y=kx+1與雙曲線x²-y²=1的左支相交于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴1-k²≠0，△=4k²+8（1-k²）＞0，

2k

1-k2

＜0，

-2

1-k2

＞0
∴解得1＜k＜

2

．
∴k的取值范圍是（1，

2

）．
（2）設(shè)M（x₀，y₀），∴x₀=

k

1-k2

，y₀=kx₀+1=

1

1-k2

，
∵直線l經(jīng)過C（-2，0）及線段AB的中點(diǎn)M，
∴直線MC的方程為：

y

1 1-k2

=

x+2

k 1-k2 +2

，整理，得x-（-2k²+k+2）y+2=0，
令x=0，解得直線l在y軸上的截距b=

2

-2k2+k+2

．
設(shè)f（k）=-2k²+k+2=-2（k-

1

4

）²+

17

8

，
則f（k）在（1，

2

）上是減函數(shù)，
∴f（

2

）＜f（k）＜f（1），且f（k）≠0，
∴-2+

2

＜f（k）＜1，且f（k）≠0，
∴b＜-2-

2

，或b＞2，
故直線l在y軸上的截距b的取值范圍是（-∞，-2-

2

）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查直線縱截距的取值范圍的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．．