Question

3．己知對所有實數(shù)x，不等式x²log₂$\frac{2（a-1）}{a}$+2xlog₂$\frac{2a}{a-1}$+log₂$\frac{（a-1）^{2}}{4{a}^{2}}$＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 設log₂$\frac{a-1}{a}$=t，將不等式轉(zhuǎn)化為參數(shù)為t的二次不等式，根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)列不等式組解出t的范圍，再得出a的范圍．

解答 解：設log₂$\frac{a-1}{a}$=t，則log₂$\frac{2（a-1）}{a}$=1+t，log₂$\frac{2a}{a-1}$=1-t，log₂$\frac{（a-1）^{2}}{4{a}^{2}}$=2log₂$\frac{a-1}{2a}$=2（t-1），
∵不等式x²log₂$\frac{2（a-1）}{a}$+2xlog₂$\frac{2a}{a-1}$+log₂$\frac{（a-1）^{2}}{4{a}^{2}}$＜0恒成立
等價于（1+t）x²+2（1-t）x+2（t-1）＜0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+t＜0}\\{4（1-t）^{2}-8（1+t）（t-1）＜0}\end{array}\right.$，解得t＜-3．
∴l(xiāng)og₂$\frac{a-1}{a}$＜-3，
∴0＜$\frac{a-1}{a}$＜$\frac{1}{8}$，解得1＜a＜$\frac{8}{7}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)恒成立問題研究，對數(shù)的運算性質(zhì)，不等式的解法，屬于中檔題．