Question

12．設函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜4）
（1）若f（x）的最小值為3，求a的值；
（2）當a=1時，若g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為|a-4|=3，由此求得a的值．
（2）由題意可得|x-4|+|x-1|+m≠0恒成立．由于|x-4|+|x-1|≥3，可得3+m＞0恒成立，由此求得m范圍．

解答 解：（1）∴函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-a|≥|a-4|，∴|a-4|=3，求得a=7（舍去）或 a=1．
（2）當a=1時，若g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$=$\frac{1}{|x-4|+|x-1|+m}$  的定義域為R，
∴|x-4|+|x-1|+m≠0恒成立．
由于|x-4|+|x-1|≥3，∴3+m＞0恒成立，m＞-3．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．