【題目】已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù) 的單調(diào)性并給出證明;
(2)若存在實(shí)數(shù) 使函數(shù) 是奇函數(shù),求 ;
(3)對(duì)于(2)中的 ,若 ,當(dāng) 時(shí)恒成立,求 的最大值.
【答案】
(1)解:不論a為何實(shí)數(shù),f(x)在定義域上單調(diào)遞增.
證明:設(shè)x1 , x2∈R,且x1<x2 ,
則 由 可知 ,所以 ,
所以
所以由定義可知,不論 為何值, 在定義域上單調(diào)遞增
(2)解:由f(0)=a-1=0得a=1,
經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)a=1時(shí), f(x)是奇函數(shù)
(3)解:由條件可得: m 2x =(2x+1)+ -3恒成立.m (2x+1)+ -3的最小值,x∈[2,3].
設(shè)t=2x+1,則t∈[5,9],函數(shù)g(t)=t+ -3在[5,9]上單調(diào)遞增,
所以g(t)的最小值是g(5)= ,
所以m ,即m的最大值是
【解析】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù) 的奇偶性和函數(shù)最值的問(wèn)題。(1)要判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明,主要利用函數(shù)的單調(diào)性的定義來(lái)進(jìn)行證明,注意要化成乘積形式進(jìn)行求解。(2)函數(shù)的奇偶性的判斷,注意函數(shù)的定義域中包含原點(diǎn)的函數(shù)一定過(guò)原點(diǎn)。(3)因?yàn)橛胁坏仁胶愠闪,把不等式轉(zhuǎn)化為m ≤ (2x+1)+ 的形式,求函數(shù)的最小值即可。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性,掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集;偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直角梯形ABCD如圖所示,分別以AB、BC、CD、DA所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn),試說(shuō)明所得幾何體的大致形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè) 與 是定義在同一區(qū)間 上的兩個(gè)函數(shù),若函數(shù) ( 為函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)),在 上有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則稱(chēng) 是 在 上的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,若 ,是 在 上的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( ).
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若低于60分的人數(shù)是15人,則該班的學(xué)生人數(shù)是( )
A.45
B.50
C.55
D.60
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,平面 平面 ,四邊形 為平行四邊形, , , , .
(1)求證: 平面 ;
(2)求 到平面 的距離;
(3)求三棱錐 的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(2,m)為其上一點(diǎn),且|MF|=4.
(1)求p與m的值;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn),求直線(xiàn)OA、OB的斜率之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m為何值時(shí),f(x):
(1)是冪函數(shù);
(2)是正比例函數(shù);
(3)是反比例函數(shù);
(4)是二次函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)證明對(duì)一切x∈(0,+∞),lnx> 恒成立.
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