Question

10．定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0．
（1）判定f（x）在區(qū)間（-1，1）上的奇偶性，并說明理由；
（2）判定f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）求證：f（$\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}$）=f（$\frac{1}{n+1}$）-f（$\frac{1}{n+2}$）

Answer 1

分析 （　�。┫壤�用賦值法研究函數(shù)f（x）的性質(zhì)，令x=y=0得，f（0）=0，再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以該函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合條件關(guān)系即可判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（3）根據(jù)條件關(guān)系f（$\frac{1}{n+1}$）-f（$\frac{1}{n+2}$）=f（$\frac{1}{n+1}$）+f（-$\frac{1}{n+2}$）=f（$\frac{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}{1-\frac{1}{n+1}•\frac{1}{n+2}}$），利用條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由已知令x=y=0代入f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），得，f（0）+f（0）=f（0），
解得f（0）=0；
再令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是奇函數(shù)．
證明（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則有f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=$f（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0，
$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}+1$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}+1-{x}_{1}{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴-1＜$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，則f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$f（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）$＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
證明：（3）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（$\frac{1}{n+1}$）-f（$\frac{1}{n+2}$）=f（$\frac{1}{n+1}$）+f（-$\frac{1}{n+2}$）=f（$\frac{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}{1-\frac{1}{n+1}•\frac{1}{n+2}}$）=f（$\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}$），
∴f（$\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}$）=f（$\frac{1}{n+1}$）-f（$\frac{1}{n+2}$）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用．一般先利用賦值法求出f（0），f（1），f（-1）等等，然后判斷函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性等性質(zhì)；考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．