5．已知函數(shù)f（x）的定義域是一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0．
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）試判斷f（x）的單調(diào)性，并證明．

分析 （1）利用賦值法先求出f（0）=0，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可得到f（x）的奇偶性；
（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）令x1=0，x2=0，
則f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
令x1=x，x2=-x，
則f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），則函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）函數(shù)在定義域上為增函數(shù)．
證明：當(dāng)x1＜x2時(shí)，則x2-x1＞0，此時(shí)f（x2-x1）＞0
則f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0，
可得f（x2）＞f（x1）
由此，得到y(tǒng)=f（x）是R上的增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

15．已知f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sinx•cosx-sin2x．
（1）求函數(shù)y=f（x）（0＜x＜π）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿足f（A）=2，而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$，求BC邊上的高AD長(zhǎng)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

16．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（a1，a2），$\overrightarrow$=（b1，b2），定義一種向量積$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=（a1b1，a2b2）．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{π}{3}$，0），點(diǎn)P（x，y）在y=sinx的圖象上運(yùn)動(dòng)，Q是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求函數(shù)y=f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

13．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
（1）若不等式f（x）＜0的解集為（-∞，-2）∪（3，+∞），求不等式cx2+bx+a＞0的解集；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與|y|=|x|的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，求證：?x∈R，都有|f（x）|＞$\frac{1}{4|a|}$；
（3）若當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，都有-1≤f（x）≤1，求證：當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，都有-7≤f（x）≤7．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

20．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2b-1）x+b-1，（x＞0）}\\{-{x}^{2}+（2-b）x，（x≤0）}\end{array}\right.$在R上為增函數(shù)，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0．
（1）判定f（x）在區(qū)間（-1，1）上的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）判定f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）求證：f（$\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}$）=f（$\frac{1}{n+1}$）-f（$\frac{1}{n+2}$）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=x|x-2|．
（1）若f（x）≤m2+m+1對(duì)一切x≤2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若f（x）≥x，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

14．拋物線y2=8x上一點(diǎn)P（x0，y0）到原點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，則x0=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

15．設(shè)a、b、c是空間三條直線，下面給出四個(gè)命題：
①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；
②若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則a、c也是異面直線；
③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A．4B．2C．1D．0

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