Question

20．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD=AB=2，DC=4，點(diǎn)M是梯形ABCD內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是DC邊的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的最大值是12．

Answer 1

分析 以直線AB為x軸、AD為y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，然后求出A、B、C、D、N各點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)M（x，y），根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=2x+2y，設(shè)z=2x+2y對(duì)應(yīng)直線l，將直線l進(jìn)行平移，可得當(dāng)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（4，2）時(shí)目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值，由此即可得到的最大值．

解答 解：以AB、AD所在直線分別為x、y，建立如圖坐標(biāo)系，可得
A（0，0），B（2，0），C（4，2），D（0，2），
因此CD中點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，2），
設(shè)M（x，y），
∴$\overrightarrow{AM}$=（x，y），$\overrightarrow{AN}$=（2，2），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=2x+2y，
設(shè)z=2x+2y對(duì)應(yīng)直線l，
將直線l平移，得當(dāng)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（4，2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值
∴z=2x+2y的最大值為2×4+2×2=12，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的最大值是12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直角梯形中的向量，求它們數(shù)量積的最大值．著重考查了向量數(shù)量積的定義和運(yùn)用直線平移法求“二元一次型”目標(biāo)函數(shù)的最值等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積幾何意義靈活應(yīng)用能力，屬于中檔題．