Question

15．已知z為虛數(shù)，且有|z|=$\sqrt{5}$，如果z²+2$\overline{z}$為實(shí)數(shù)．
（1）求：復(fù)數(shù)z；
（2）若z恰為實(shí)系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0的根，試求出此方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=x+yi（x、y∈R，y≠0），由條件|z|=$\sqrt{5}$，z²+2$\overline{z}$為實(shí)數(shù)求出復(fù)數(shù)z．
（2）利用韋達(dá)定理求出，二次方程的系數(shù)即可．

解答 解：（1）設(shè)z=x+yi（x、y∈R，y≠0）
由z²+2$\overline{z}$=（x²+y²+2x）+（2xy-2y）i
∵z²+2$\overline{z}$∈R，∴2xy-2y=0，
∵y≠0，∴x=1，
又|z|=$\sqrt{5}$，即x²+y²=5，∴y=±2，
∴z=1±2i．
（2）z恰為實(shí)系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0的根，
可得：$-\frac{a}$=2，$\frac{c}{a}=5$，
實(shí)系數(shù)一元二次方程為：x²-2x+5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，設(shè)z=x+yi（x、y∈R）是復(fù)數(shù)問(wèn)題中最常用的思路．