Question

15．已知z為虛數(shù)，且有|z|=$\sqrt{5}$，如果z²+2$\overline{z}$為實數(shù)．
（1）求：復數(shù)z；
（2）若z恰為實系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0的根，試求出此方程．

Answer 1

分析 （1）設z=x+yi（x、y∈R，y≠0），由條件|z|=$\sqrt{5}$，z²+2$\overline{z}$為實數(shù)求出復數(shù)z．
（2）利用韋達定理求出，二次方程的系數(shù)即可．

解答 解：（1）設z=x+yi（x、y∈R，y≠0）
由z²+2$\overline{z}$=（x²+y²+2x）+（2xy-2y）i
∵z²+2$\overline{z}$∈R，∴2xy-2y=0，
∵y≠0，∴x=1，
又|z|=$\sqrt{5}$，即x²+y²=5，∴y=±2，
∴z=1±2i．
（2）z恰為實系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0的根，
可得：$-\frac{a}$=2，$\frac{c}{a}=5$，
實系數(shù)一元二次方程為：x²-2x+5=0．

點評 本題考查復數(shù)的概念、運算及復數(shù)的模等知識，設z=x+yi（x、y∈R）是復數(shù)問題中最常用的思路．