Question

9．（理） 已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，若S_n＜t對(duì)任意n∈N^*都成立，則t的取值范圍為$t≥\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂項(xiàng)求和”可得S_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴S_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．
∵S_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$＜t對(duì)任意n∈N^*都成立，
∴$t≥\frac{1}{2}$．
故答案為：$t≥\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．