Question

17．已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，a=2，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}{x^3}-\frac{3}{4}$x的極大值是cosA．
（1）求A；  
（2）若S_△ABC=$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)y′，再解不等式y(tǒng)′＞0和y′＜0得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而由極值的定義求得函數(shù)的極值，解得cosA的值，結(jié)合A的范圍，即可得解．
（2）由已知利用三角形面積公式及余弦定理即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）′=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$（x+1）（x-1）．
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}{x^3}-\frac{3}{4}$x在（-∞，-1）是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）是增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}{x^3}-\frac{3}{4}$x在x=-1時取得極大值$\frac{1}{2}$，
∴可求：$cosA=\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）∵a=2，$A=\frac{π}{3}$，
∴由三角形面積公式及余弦定理可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=\sqrt{3}\\ 4={b^2}+{c^2}-bc\end{array}\right.$，
∴解得b=c=2．

點評 本題考察了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值中的應(yīng)用，函數(shù)極值的意義及求法，考查了余弦定理，三角形面積公式，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于中檔題．