Question

14．（1）解關(guān)于x不等式（x-a）（x-1）＜0．
（2）證明：（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）≥4（其中x＞0，y＞0）．

Answer 1

分析 （1）對a與1的大小關(guān)系分類討論即可解出．
（2）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出證明．

解答 解； （1）當a＜1時，原不等式的解為a＜x＜1，解集為{x|a＜x＜1}，
當a=1時，原不等式無解，解集為∅．
當a＞1時，原不等式的解為1＜x＜a，解集為{x|1＜x＜a}．
所以綜上所述：當a＜1時，原不等式的解集為{x|a＜x＜1}；
當a=1時，原不等式解集為∅；
當a＞1時，原不等式的解集為{x|1＜x＜a}．
（2）證明：∵x＞0，y＞0，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥2+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=4，當且僅當x=y＞0時取等號．
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）≥4．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．