Question

9．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的方程為2x+（k-3）y-2k+6=0，k∈R．
（1）若直線l在x軸，y軸上的截距之和為1，求坐標原點O到直線l的距離；
（2）求坐標原點O到直線l距離的最大值；
（3）若直線l與直線l₁：2x-y-2=0和l₂：x+y+3=0分別相交于A，B兩點，點P（0，2）到A，B兩點的距離相等，求k的值．

Answer 1

分析 直線l的方程為2x+（k-3）y-2k+6=0，k∈R．化為（2x-3y+6）+k（y-2）=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+6=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得定點P（0，2）．
（1）設直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}=1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得a，b，可得直線l的方程，再利用點到直線的距離公式公式即可得出；
（2）由于直線l的方程2x+（k-3）y-2k+6=0，k∈R，經(jīng)過定點P（0，2）．即可得出坐標原點O到直線l距離的最大值．
（3）設A（s，t），由于點P在已知直線l上，且點P（0，2）到A，B兩點的距離相等，利用中點坐標公式可得B（-s，4-t）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2s-t-2=0}\\{-s+4-t+3=0}\end{array}\right.$，解得即可得出．

解答 解：直線l的方程為2x+（k-3）y-2k+6=0，k∈R．化為（2x-3y+6）+k（y-2）=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+6=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即過定點P（0，2）．
（1）設直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}=1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得b=2，a=-1．
∴直線l的方程為：$\frac{x}{-1}+\frac{y}{2}$=1，化為2x-y+2=0．
∴坐標原點O到直線l的距離d=$\frac{|0+2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）由于直線l的方程2x+（k-3）y-2k+6=0，k∈R，經(jīng)過定點P（0，2）．
∴坐標原點O到直線l距離的最大值為2．
（3）設A（s，t），∵點P在已知直線l上，且點P（0，2）到A，B兩點的距離相等，
∴B（-s，4-t）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2s-t-2=0}\\{-s+4-t+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{s=3}\\{t=4}\end{array}\right.$，∴A（3，4）．
代入直線l的方程2x+（k-3）y-2k+6=0，可得2×3+4（k-3）-2k+6=0，
解得k=0．

點評 本題考查了直線的交點坐標、直線過定點問題、點到直線的距離公式、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．