Question

19．已知兩條直線2x-3y+1=0，3x-4y-1=0相交于點P，分別求過點P且滿足下列條件的直線方程．
（1）過原點；
（2）垂直于直線3x+3y-4=0；
（3）與點A（2，0）的距離等于$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+1=0}\\{3x-4y-1=0}\end{array}\right.$，解得交點P（7，5），求出斜率即可得出．
（2）設(shè)垂直于直線3x+3y-4=0的方程為3x-3y+m=0，把點P（7，5）代入解出即可；
（3）由題意可知斜率存在，設(shè)直線方程為y-5=k（x-7），即kx-y+5-7k=0，利用點到直線的距離公式夾角得出．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+1=0}\\{3x-4y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=5}\end{array}\right.$，可得交點P（7，5），
所求直線又過原點可得：$y=\frac{5}{7}x$，即5x-7y=0．
（2）設(shè)垂直于直線3x+3y-4=0的方程為3x-3y+m=0，把點P（7，5）代入可得：3×7-3×5+m=0，解得m=-6．
∴要求的直線方程為：3x-3y-6=0，即x-y-2=0．
（3）由題意可知斜率存在，設(shè)直線方程為y-5=k（x-7），即kx-y+5-7k=0，
∴$\frac{|2k+5-7k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，化為4k²=1，解得k=$±\frac{1}{2}$，
∴要求的直線方程為：$y-5=±\frac{1}{2}（x-7）$，化為x-2y+3=0，或x+2y-17=0．

點評 本題考查了直線的交點坐標(biāo)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．