Question

已知直線：y=k（x+2）與圓O：x²+y²=4相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形ABO的面積為S．
（1）試將S表示成的函數(shù)S（k），并求出它的定義域；
（2）求S的最大值，并求取得最大值時(shí)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）求出圓心到直線的距離OC，求出弦長AB，由三角形的面積公式即可求出面積S（k），并寫出定義域；
（2）分子、分母同除以|k|，然后對分母應(yīng)用基本不等式，求出最小值，注意等號成立的條件，從而得到S的最大值．

解答： 解：（1）過O作OC⊥AB，垂足為C，則C為AB的中點(diǎn)，
又OC=

|2k|

1+k2

，AB=2

4-OC2

=2

4- 4k2 1+k2

=

4

1+k2

，
∴S（k）=

1

2

•OC•AB=

4|k|

1+k2

，定義域?yàn)閧k|k∈R且k≠0}；
（2）∵S=

4|k|

1+k2

，
∴S=

4

|k|+ 1 |k|

，
∵|k|+

1

|k|

≥2，
∴S≤

4

2

=2，
∴當(dāng)且僅當(dāng)|k|=

1

|k|

即k=±1時(shí)，S取最大值，且為2．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系：相交，考查弦長的求法，考查基本不等式及應(yīng)用于求最值，注意等號成立的條件．