Question

已知函數(shù)F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內為單調增函數(shù)
（1）若f（x）=lnx+ax²，求a的取值范圍
（2）設x₀是f（x）的零點，m，n∈（0，x₀），求證，

f(m+n)

f(m)+f(n)

＜1．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,證明題,導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）化簡F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

+ax，求導F′（x）=

1-lnx

x2

+a=

1-lnx+ax2

x2

；從而化函數(shù)F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內為單調增函數(shù)為F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；即a≥

lnx-1

x2

在（0，+∞）上恒成立；再構造函數(shù)g（x）=

lnx-1

x2

，從而利用導數(shù)求函數(shù)的最值可得；
（2）由題意可得當x∈（0，x₀）時，f（x）＜0；再由函數(shù)的單調性可得

f(m)

m

＜

f(m+n)

m+n

，

f(n)

n

＜

f(m+n)

m+n

；故

f(m)+f(n)

m+n

≤max{

f(m)

m

，

f(n)

n

}＜

f(m+n)

m+n

；從而化簡證明．

解答： 解：（1）F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

+ax，
F′（x）=

1-lnx

x2

+a=

1-lnx+ax2

x2

；
故使函數(shù)F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內為單調增函數(shù)可化為
F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
即1-lnx+ax²≥0在（0，+∞）上恒成立；
即a≥

lnx-1

x2

在（0，+∞）上恒成立；
令g（x）=

lnx-1

x2

，則g′（x）=

2lnx-3

x3

；
故x∈（0，e

3

2

）時，g′（x）＞0；
x∈（e

3

2

，+∞）時，g′（x）＜0；
故g（x）=

lnx-1

x2

在（0，e

3

2

）上是增函數(shù)，在（e

3

2

，+∞）上是減函數(shù)；
故g_max（x）=g（e

3

2

）=

1

2e3

；
故a≥

1

2e3

；
（2）證明：∵F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內為單調增函數(shù)，
又∵x₀是f（x）的零點；
∴當x∈（0，x₀）時，f（x）＜0；
∵

f(m)

m

＜

f(m+n)

m+n

，

f(n)

n

＜

f(m+n)

m+n

；
∴

f(m)+f(n)

m+n

≤max{

f(m)

m

，

f(n)

n

}＜

f(m+n)

m+n

；
∴f（m）+f（n）＜f（m+n）；
又∵f（m）+f（n）＜0；
∴

f(m+n)

f(m)+f(n)

＜1．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，考查了構造函數(shù)的應用，同時考查了不等式的性質應用，屬于難題．