Question

5．已知n=${∫}_{0}^{2}$（2x+1）dx，則（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}）^{n}$ⁿ的展開(kāi)式中x²的系數(shù)為-18．

Answer 1

分析 利用定積分先求出n=6，再利用二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式求出T_r+1=${C}_{6}^{r}（\frac{3}{\sqrt{x}}）^{6-r}（-\root{3}{x}）^{r}$，由此能求出（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}）^{n}$ⁿ的展開(kāi)式中x²的系數(shù)．

解答 解：n=${∫}_{0}^{2}$（2x+1）dx=（x²+x）|${\;}_{0}^{2}$=6，
∴（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}）^{n}$ⁿ=（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}）^{n}$⁶，
T_r+1=${C}_{6}^{r}（\frac{3}{\sqrt{x}}）^{6-r}（-\root{3}{x}）^{r}$=（3^6-r）（-1）^r${C}_{6}^{r}$${x}^{\frac{2r-6}{2}}$，
令$\frac{2r-6}{2}$=2，得r=5，
∴（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}）^{n}$ⁿ的展開(kāi)式中x²的系數(shù)為：（3^6-5）（-1）⁵${C}_{6}^{5}$=-18．
故答案為：-18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分、二項(xiàng)式定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．