Question

14．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x+$\frac{1}{ax}$（x＞0）都在x=x₀處取得最小值．
（1）求f（x₀）-g（x₀）的值．
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），h（x）的極值點(diǎn)之和落在區(qū)間（k，k+1），k∈N，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的極值點(diǎn)和極值，繼而求出a的值，再求出g（x）的極值，問題得以解決，
（2）先求導(dǎo)得到h′（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{2}{x}^{2}}$，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=xlnx，x＞0，
∴f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{e}$，且f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
∵f（x）=xlnx，g（x）=x+$\frac{1}{ax}$（x＞0）都在x=x₀處取得最小值，
∴x₀=$\frac{1}{e}$，
∵g（x）=x+$\frac{1}{ax}$（x＞0），
∴g′（x）=1-$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
∴g′（$\frac{1}{e}$）=1-$\frac{{e}^{2}}{a}$=0，
解得a=e²，
∴g（x₀）=g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{{e}^{3}}$，
∴f（x₀）-g（x₀）=-$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{{e}^{3}}$=$\frac{1}{{e}^{3}}$，
（Ⅱ）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x-$\frac{1}{{e}^{2}x}$，
∴h′（x）=1+lnx-1+$\frac{1}{{e}^{2}{x}^{2}}$=lnx-$\frac{1}{{e}^{2}{x}^{2}}$，
設(shè)φ（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{2}{x}^{2}}$，
∴φ′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{e}^{2}{x}^{3}}$＞0，
∴h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h′（1）•h（e）＜0，
∴h′（x）在（1，e）上存在唯一的零點(diǎn)，
∵h(yuǎn)（x）的極值點(diǎn)之和落在區(qū)間（k，k+1），
∴k=1．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)函數(shù)的極值和最值問題，以及函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，屬于中檔題