Question

13．已知函數(shù)f（x）=（2x²+x）lnx-（2a+1）x²-（a+1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=（4x+1）（lnx-1）=0，得x=e．x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＜0，∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由題意得f′（x）=（4x+1）（lnx-a），（x＞0）．可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e^a，+∞），減區(qū)間為（0，e^a）即f（x）≥0恒成立，b≥e^2a+e^a．即b-a≥e^2a+e^a-a，構(gòu)造函數(shù)g（t）=t²+t-lnt，（t＞0），g′（t）=$\frac{（2t-1）（t+1）}{t}$．可得g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}+ln2$．即可得b-a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（2x²+x）lnx-3x²-2x+b（x＞0）．
f′（x）=（4x+1）（lnx-1），令f′（x）=0，得x=e．
x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＜0，∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（0，e）；
（Ⅱ）由題意得f′（x）=（4x+1）（lnx-a），（x＞0）．
令f′（x）=0，得x=e^a．
x∈（0，e ^a）時(shí)，f′（x）＜0，∈（e^a ，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e^a，+∞），減區(qū)間為（0，e^a）
∴f（x）_min=f（e^a）=-e^2a-e^a+b，
∵f（x）≥0恒成立，∴f（e^a）=-e^2a-e^a+b≥0，則b≥e^2a+e^a．
∴b-a≥e^2a+e^a-a
令e^a=t，（t＞0），∴e^2a+e^a-a=t²+t-lnt，
設(shè)g（t）=t²+t-lnt，（t＞0），g′（t）=$\frac{（2t-1）（t+1）}{t}$．
當(dāng)t∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，g′（t）＜0，當(dāng)t$∈（\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)，g′（t）＞0．
∴g（t）在（0，$\frac{1}{2}$）上遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增．
∴g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}+ln2$．
f（x）≥0恒成立，b-a的最小值為$\frac{3}{4}+ln2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間及最值，屬于中檔題．