Question

3．（1）在極坐標(biāo)系中，求以點(diǎn)（1，1）為圓心，半徑為1的圓C的方程；
（2）將上述圓C繞幾點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{2}$得到圓D，求圓D的方程．

Answer 1

分析 （1）求出極坐標(biāo)系中點(diǎn)（1，1）的直角坐標(biāo)，得到圓C的直角坐標(biāo)方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；
（2）把（1）中的極坐標(biāo)方程極角$-\frac{π}{2}$，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式整理得答案．

解答 解：（1）在對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)系中，圓心的坐標(biāo)為（cos1，sin1），
∴圓的直角坐標(biāo)方程為：（x-cos1）²+（y-sin1）²=1，即x²+y²-2xcos1-2ysin1=0，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：ρ²=2ρcos1cosθ+2ρsin1sinθ，
∴ρ=2（cos1cosθ+sin1sinθ）=2cos（θ-1）．
即圓C的方程ρ=2cos（θ-1）；
（2）將圓C繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{2}$，得到圓D：$ρ=2cos（θ-1-\frac{π}{2}）=-2sin（1-θ）$，
即ρ=2sin（θ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，屬中檔題．