Question

11．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）若b_n=a_n+1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}得通項公式．

Answer 1

分析 （1）直接由已知結(jié)合數(shù)列遞推式求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）把已知數(shù)列遞推式變形，得到$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$，結(jié)合b_n=a_n+1，可得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）由（2）即可求得數(shù)列{b_n}的通項公式，進一步求得數(shù)列{a_n}得通項公式．

解答 （1）解：由a₁=1，a_n+1=2a_n+1，得a₂=2a₁+1=3，a₃=2a₂+1=7，a₄=2a₃+1=15；
（2）證明：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1=2≠0，∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$，
即$\frac{_{n+1}}{_{n}}=2$．
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列；
（3）解：由數(shù)列{b_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
得$_{n}={2}^{n}$，即a_n+1=2ⁿ，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．