Question

5．如圖，在三棱錐P-ABC中，D是線段BC的中點，△ABC和△PAD所在的平面互相垂直，PA⊥AD，AF⊥PB，AB=2，AC=4，AD=$\sqrt{3}$，∠BAC=120°．
（1）證明：PB⊥AD；
（2）若∠AFD的大小為45°，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合余弦定理證得AB⊥AD，再由已知PA⊥AD，利用線面垂直的判斷得到AD⊥面PAB，從而得到PB⊥AD；
（2）由∠AFD的大小為45°，通過解直角三角形求得BF，再由三角形相似得PA，然后利用棱錐體積公式求得三棱錐P-ABC的體積．

解答 （1）證明：如圖，
∵AB=2，AC=4，∠BAC=120°，
∴$BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cos∠BAC}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×cos120°}$=$\sqrt{20+8}=2\sqrt{7}$．
則BD=$\sqrt{7}$．
在△ABD中，由AB=2，AD=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{7}$，得AB²+AD²=BD²，
∴AB⊥AD，又PA⊥AD，PA∩AB=A，
∴AD⊥面PAB，而PB?面PAB，則PB⊥AD；
（2）解：∴AD⊥面PAB，∴∠DAF=90°，
又∠AFD的大小為45°，∴AF=AD=$\sqrt{3}$，
∵AF⊥PB，在Rt△AFB中，AB=2，AF=$\sqrt{3}$，∴BF=1，
由Rt△AFB∽Rt△PFA，得$\frac{2}{1}=\frac{PA}{\sqrt{3}}$，即PA=2$\sqrt{3}$．
∵△ABC和△PAD所在的平面互相垂直，面PAD∩面ABC=AD，且PA⊥AD，
∴PA⊥面ABC，
即PA為三棱錐P-ABC的高．
則${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB•AC•sin120°•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}=4$．

點評 本題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．