Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程．
（Ⅱ）若a為實數(shù)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+1）上的有極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）試問是否存在k，b∈N，使得e^x＞kx+b＞f（x）恒成立？若存在，請寫出k，b的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程．
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+1）上的有極值，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明k=2，b=0時命題成立，即證e^x＞kx+b＞f（x）恒成立，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論；

解答 解：（Ⅰ）因為$f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，f'（1）=0…1分
所以函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=1…3分
（Ⅱ）因為$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，由$f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，令f'（x）=0，得x=1
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0…4分
所以f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．…5分
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+1）上有極值，
所以a＜1＜a+1，解得0＜a＜1．…7分
（III）因為y=e^x過點（0，1），結(jié)合函數(shù)y=e^x的圖象可知，當(dāng)b≥1時，直線y=kx+b與函數(shù)y=e^x的圖象恒有公共點，不合題意，所以b＜1，又b∈N，故b=0．
在不等式e^x＞kx+b＞f（x）中，令x=1，得e＞k＞1，又k∈N，所以k=2．
以下證明k=2，b=0時命題成立，即證e^x＞kx+b＞f（x）恒成立…8分
方法一：因為${e^x}＞2x＞f（x）?\frac{e^x}{x}＞2＞\frac{1+lnx}{x^2}$．（*）
（ i）設(shè)$g（x）=\frac{e^x}{x}$，則$g'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}$，令g'（x）=0，得x=1．
則g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以g（x）≥g（1）=e＞2，即不等式$\frac{e^x}{x}＞2$成立．…10分
（ ii）設(shè)$h（x）=\frac{1+lnx}{x^2}$，則$h'（x）=\frac{x-2x（1+lnx）}{x^4}=-\frac{1+2lnx}{x^3}（x＞0）$，
令h'（x）=0，得$x=\frac{1}{{\sqrt{e}}}$，
則h（x）在區(qū)間$（0，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$（\frac{1}{{\sqrt{e}}}，+∞）$上單調(diào)遞減．
所以$h（x）≤h（\frac{1}{{\sqrt{e}}}）=\frac{e}{2}＜2$，即不等式$\frac{1+lnx}{x^2}＜2$成立．…13分
綜上可知（*）式成立，即存在k=2，b=0滿足題意．…14分
方法二：e^x＞2x＞f（x）等價于e^x＞2x，且2x²＞1+lnx．（*）
（ i）設(shè)g（x）=e^x-2x，g'（x）=e^x-2．令g'（x）=0，得x=ln2．
則g（x）在區(qū)間（0，ln2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．
所以g（x）≥g（ln2）=2-ln2=2（1-ln2）＞0，即e^x＞2x恒成立．…10分
（ ii）設(shè)h（x）=2x²-lnx-1，則$h'（x）=4x-\frac{1}{x}（x＞0）$，令h'（x）=0，得$x=\frac{1}{2}$，
則h（x）在區(qū)間$（0，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$（\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增．
所以$h（x）≥h（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}-ln\frac{1}{2}-1=ln2-\frac{1}{2}＞ln\sqrt{e}-\frac{1}{2}=0$，
即2x²＞1+lnx恒成立．…13分
綜上可知（*）式成立，即存在k=2，b=0滿足題意．…14分．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．