Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²-x+lnx的圖象在點P（x₀，y₀）處的切線方程為y=g（x），若不等式$\frac{f（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0對任意x∈（0，x₀）∪（x₀，+∞）恒成立，則x₀=（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由f（x）在點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），得到g（x）的表達式，代入f（x）-g（x），求其導函數(shù)，利用0＜x₀＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，在（x₀，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）上m′（x）＜0，m（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增，當x₀＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，在（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，x₀）上m′（x）＜0，mφ（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減，可得x₀的值．

解答 解：f（x）=x²-x+lnx的導數(shù)為f′（x）=2x-1+$\frac{1}{x}$，
由函數(shù)f（x）在點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），
則g（x）-（x₀²-x₀+lnx₀）=（2x₀-1+$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀），
即g（x）=（2x₀-1+$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀）+x₀²-x₀+lnx₀，
令m（x）=f（x）-g（x）=x²-x+lnx-（2x₀-1+$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀）-x₀²+x₀-lnx₀．
則m（x₀）=0．
m′（x）=2x-1+$\frac{1}{x}$-（2x₀-1+$\frac{1}{{x}_{0}}$）=$\frac{2}{x}$（x-x₀）（x-$\frac{1}{2{x}_{0}}$），
若0＜x₀＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，m（x）在（x₀，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）上m′（x）＜0，m（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減，
當x∈（x₀，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）時，m（x）＜m（x₀）=0，此時$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0不合題意；
若x₀＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，m（x）在（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，x₀）上m′（x）＜0，m（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減，
當x∈（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，x₀）時，m（x）＞m（x₀）=0，此時$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0不合題意；
當x₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，m′（x）=$\frac{2}{x}$（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²≥0，m（x）在（0，+∞）遞增，
當x＞x₀時，m（x）＞m（x₀）=0，此時$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＞0；
當x＜x₀時，m（x）＜m（x₀）=0，此時$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＞0，成立．
故選：B．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，正確理解導數(shù)的幾何意義及熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵，是中檔題．