Question

設(shè)a_n（n=2，3，4，…）是（2+x）ⁿ的展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)，則

2010

2009

×（

22

a2

+

23

a3

+

24

a4

+…+

22010

a2010

）=（　�。�

• A、8
• B、4
• C、2
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由題意求得a_n，可得

2n

an

=8（

1

n-1

-

1

n

），故要求的式子即

2010

2009

×8×[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2009

-

1

2010

）]，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：由題意可得a_n=

C

2 n

•2^n-2=n（n-1）•2^n-3，∴

2n

an

=

8

n(n-1)

=8（

1

n-1

-

1

n

），
則

2010

2009

×（

22

a2

+

23

a3

+

24

a4

+…+

22010

a2010

）=

2010

2009

×8[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2009

-

1

2010

）]
=

2010

2009

×8×（1-

1

2010

）=8，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于基礎(chǔ)題．