Question

14．如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，G為EC的中點，AF=AB=BC=FE=$\frac{1}{2}$AD．
（Ⅰ）求證：BF∥平面CDE；
（Ⅱ）求證：平面AGD⊥平面CDE；
（Ⅲ）求直線CE與平面ADEF所成角的大�。�

Answer 1

分析 （I）由BC∥FE，BC=FE可得四邊形BCEF是平行四邊形，故而BF∥CE，于是BF∥平面CDE；
（II）過點E作EP⊥AD于P，連接CP、AC、AE，通過計算可得AC=AE=CD=DE，由等腰三角形的性質(zhì)得出AG⊥CE，DG⊥CE，于是CE⊥平面ADG，故而平面AGD⊥平面CDE；
（III）證明AB⊥平面ADEF，又BF∥CE，于是直線CE與平面ADEF所成角等于BF與平面ADEF所成的角，故∠BFA即為所求的角．

解答 （Ⅰ）證明：∵BC∥FE，BC=FE，
∴四邊形BCEF是平行四邊形．
∴BF∥CE．
∵BF?平面CDE，CE?平面CDE，
∴BF∥平面CDE．
（Ⅱ）證明：過點E作EP⊥AD于P，連接CP、AC、AE，
設(shè)AF=a，則EP=PD=PC=a，AC=AE=$CD=DE=\sqrt{2}a$．
∴△CDE，△ACE為等腰三角形．
∵G為EC的中點，
∴DG⊥CE，AG⊥CE．
又AG?平面ADG，DG?平面ADG，AG∩DG=G，
∴CE⊥平面ADG．
∵CE?平面CDE，
∴平面AGD⊥平面CDE．
（Ⅲ）∵BA⊥AF，BA⊥AD，AF∩AD=A，
∴BA⊥平面ADEF．
∴∠BFA即為直線BF與平面ADEF所成角．
∵$tan∠BFA=\frac{AB}{AF}=1$，
∴∠BFA=45°．
∵BF∥CE，
∴直線CE與平面ADEF所成的角為45°．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，線面角的計算，屬于中檔題．