Question

19．已知函數(shù)y=f（x），若在區(qū)間I內(nèi)有且只有一個實數(shù)c（c∈I），使得f（c）=0成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I內(nèi)具有唯一零點．
（1）判斷函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-1，0≤x＜1\\{log_2}x，x≥1\end{array}$在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是否具有唯一零點，并說明理由；
（2）已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n\;}$=（sin2x，cos2x），x∈（0，π），證明f（x）=$\overrightarrow{m\;}•\overrightarrow{n\;}$+1在區(qū)間（0，π）內(nèi)具有唯一零點；
（3）若函數(shù)f（x）=x²+2mx+2m在區(qū)間（-2，2）內(nèi)具有唯一零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論．
（2）兩個向量的數(shù)量積共公式以及三角恒等變換，化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-1，0≤x＜1\\{log_2}x，x≥1\end{array}\right.$在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)具有唯一零點．  
理由：當(dāng)x=1時，有f（1）=0，且當(dāng)0＜x＜1時，有f（x）=x²-1＜0；當(dāng)x＞1時，f（x）=log₂x是增函數(shù)，有f（x）=log₂x＞log₂1=0．  
（2）因為$\overrightarrow{m\;}•\overrightarrow{n\;}+1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+1=sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，f（x）=0的解集為$A=\left\{{x\left|{x=kπ-\frac{π}{3}，k∈Z}\right.}\right\}$．
因為I=（0，π），∴$A∩I=\left\{{\frac{2}{3}π}\right\}$，所以在區(qū)間（0，π）內(nèi)有且只有一個實數(shù)$\frac{2}{3}π$，使得$f（\frac{2}{3}π）=0$成立，
因此$f（x）=\overrightarrow{m\;}•\overrightarrow{n\;}+1$在開區(qū)間（0，π）內(nèi)具有唯一零點．
（3）函數(shù)f（x）=x²+2mx+2m在開區(qū)間（-2，2）內(nèi)具有唯一零點，該二次函數(shù)的對稱軸為x=-m．
以下分-m與區(qū)間（-2，2）的位置關(guān)系進行討論．
①當(dāng)-m≤-2即m≥2時，f（x）=x²+2mx+2m在開區(qū)間（-2，2）是增函數(shù)，只需$\left\{\begin{array}{l}f（-2）＜0\\ f（2）＞0\end{array}\right.$，解得m＞2．
②當(dāng)-2＜-m＜2即-2＜m＜2時，若使函數(shù)在開區(qū)間（-2，2）內(nèi)具有唯一零點，2m-m²＜0，所以m＜0．
再分三種情形討論：當(dāng)m=0時，符合題意；當(dāng)0＜m＜2時，空集； 當(dāng)-2＜m＜0時，只需$\left\{\begin{array}{l}f（-2）＞0\\ f（2）≤0\end{array}\right.$解得$-2＜m≤-\frac{2}{3}$．
③當(dāng)-m≥2即m≤-2時，f（x）=x²+2mx+2m在區(qū)間（-2，2）是減函數(shù)，只需$\left\{\begin{array}{l}f（-2）＞0\\ f（2）＜0\end{array}\right.$，解得m≤-2．
綜上討論，實數(shù)m的取值范圍是$m≤-\frac{2}{3}$或m=0或m＞2．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，兩個向量的數(shù)量積共公式以及三角恒等變換，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．