Question

【題目】（12分）

如圖，在四棱錐

.

（1）當(dāng)PB=2時(shí)，證明：平面平面ABCD.

（2）當(dāng)四棱錐的體積為，且二面角為鈍角時(shí)，求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析.

（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，，則，由，推出∥，根據(jù)，推出，即可證明為矩形，則，即可證明，從而可證平面平面；（2）由，，推出平面，可得平面 平面，過點(diǎn)作平面，根據(jù)四棱錐的體積為，即可算出，從而可得的值，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線為，軸，在平面內(nèi)過點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出向量與平面的一個(gè)法向量，即可求出求直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接.

∵為正三角形

∴.

∵

∴

∵

∴，

∴四邊形為矩形

∴.

在中，，所以，則.

∵

∴平面

又∵平面

∴平面平面.

(2)解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，

平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，所以過點(diǎn)作 平面，垂足一定落在平面與平面的交線上.

∵四棱錐的體積為，

∴ ，

∴.

∵

∴

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸、軸，在平面內(nèi)過點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意可知 ，故

，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以.

設(shè)直線與平面所成的角為，則.

故直線與平面所成角的正弦值為.