Question

【題目】已知函數(shù)，，現(xiàn)有如下兩種圖象變換方案：

（方案1）：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度；

（方案2）：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變.

請(qǐng)你從中選擇一種方案，確定在此方案下所得函數(shù)的解析式，并解決如下問(wèn)題：

（1）用“五點(diǎn)作圖法”畫(huà)出函數(shù)在的閉區(qū)間上的圖象（列表并畫(huà)圖）；

（2）請(qǐng)你在答題紙相應(yīng)位置逐一寫(xiě)出函數(shù)的①周期性②奇偶性③單調(diào)遞增區(qū)間④單調(diào)遞減區(qū)間.

Answer 1

【答案】無(wú)論在何種方案下所得的函數(shù)都是.（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.

【解析】

在（方案1）和（方案2）中，利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律可得出函數(shù)的解析式為.

（1）當(dāng)時(shí)，求得，分別令等于、、、、、，求得對(duì)應(yīng)的值，列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)，進(jìn)而可得出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；

（2）根據(jù)函數(shù)的解析式可得出函數(shù)的最小正周期、奇偶性，分別解不等式、，可分別得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.

（方案1）：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，

得到函數(shù)的圖象，再將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象；

（方案2）：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，

再將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即.

所以，無(wú)論在何種方案下所得的函數(shù)都是.

（1）當(dāng)時(shí)，，列表如下：

所以，函數(shù)在區(qū)間上圖象如下圖所示：

（2）函數(shù)，

最小正周期：；奇偶性：非奇非偶函數(shù)；

增區(qū)間：令，解得，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

減區(qū)間：令，解得，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.