Question

5．正方形ABCD所在平面外一點P，有PA=PB=PC=PD=AB，則二面角P-AB-C的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-AB-C的余弦值．

解答 解：連結AC，BD，交于點O，連結OP，設PA=PB=PC=PD=AB=2，
則PO⊥平面ABCD，OB⊥OC，
以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
OB=OC=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，OP=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
P（0，0，$\sqrt{2}$），A（0，-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
設平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
設二面角P-AB-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角P-AB-C的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．