Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+1，0＜x≤2}\\{lnx，x＞2}\end{array}}\right.$，如果關(guān)于x的方程f（x）=k只有一個(gè)實(shí)根，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． $（2，{e^{\frac{3}{2}}}）$
• B． $（\frac{3}{2}，+∞）$
• C． $（ln2，{e^{\frac{3}{2}}}）$
• D． $（ln2，\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 由題意可得y=f（x）的圖象和直線(xiàn)y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．作出y=f（x）的圖象和直線(xiàn)y=k，通過(guò)觀察即可得到k的范圍．

解答 解：關(guān)于x的方程f（x）=k只有一個(gè)實(shí)根，
即為y=f（x）的圖象和直線(xiàn)y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．
作出y=f（x）的圖象和直線(xiàn)y=k，如圖，
由圖象可得當(dāng)ln2＜k＜$\frac{3}{2}$時(shí)，
y=f（x）的圖象和直線(xiàn)y=k只有一個(gè)交點(diǎn)，
即為關(guān)于x的方程f（x）=k只有一個(gè)實(shí)根．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的根的分布情況，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．