Question

10．如圖，四邊形ABCD為正方形，以AB為直徑 的半圓E與以C為圓心CB為半徑的圓弧相交于點P，過點P作圓C的切線PF交AD于點F，連接CP．
（Ⅰ）證明：CP是圓E的切線；
（Ⅱ）求$\frac{AF}{PF}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：CP是圓E的切線，只需證明CP⊥PE即可；
（Ⅱ）證明FD=FP，利用勾股定理，即可求$\frac{AF}{PF}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：連接PB，PE，則EB=EP，
∴∠EPB=∠EBP．
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∴∠CPB+∠EPB=∠CBP+∠EBP=90°，
∴CP⊥PE，
∵PE是圓E的半徑，
∴CP是圓E的切線；
（Ⅱ）解：由題意，PF⊥CP，EP⊥CP，
∴E，P，F(xiàn)三點共線，
∵FD為圓的切線，
∴FD=FP．
∵PE=EB，
∴Rt△EAF中，AF²+AE²=EF²，
∴（AD-PF）²+（$\frac{AD}{2}$）²=（PF+$\frac{AD}{2}$）²，
∴AD=3PF，
∴AF=2PF，
∴$\frac{AF}{PF}$=2．

點評 本題考查圓的切線的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．