Question

18．已知f（x）=lnx+ax²-ax+5，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{1}{x}+2ax-a$，根據(jù)f（x）在x=1處有極值便可得到f′（1）=0，從而可求出a的值，并可驗(yàn)證該值成立；
（2）根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增便可得出f′（x）≥0恒成立，進(jìn)而得出2ax²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，這樣討論a的值：a＜0，a=0，和a＞0這三種情況，對(duì)每種情況驗(yàn)證是否滿足條件，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f′（x）=\frac{1}{x}+2ax-a$；
∵f（x）在x=1處有極值，∴f′（1）=1+2a-a=0；
解得：a=-1；
此時(shí)${f^'}（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)f′（x）＜0，符合題意；
∴實(shí)數(shù)a的值為-1；
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
∴$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax-a=\frac{{2a{x^2}-ax+1}}{x}≥0$在（0，+∞）恒成立；
即2ax²-ax+1≥0在（0，+∞）恒成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，顯然不符合題意；
當(dāng)a=0時(shí)，1≥0恒成立，符合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，要使$2a{x^2}-ax+1=2a{（x-\frac{1}{4}）^2}+1-\frac{a}{8}≥0$恒成立；
需$1-\frac{a}{8}≥0$，解得0＜a≤8；
綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，8]．

點(diǎn)評(píng) 考查基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)極值的定義，函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的取值情況，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)的圖象．