Question

【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若對(duì)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，將數(shù)列中的部分項(xiàng)按原來(lái)的順序構(gòu)成數(shù)列且證明：存在無(wú)數(shù)個(gè)滿足條件的無(wú)窮等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）的取值范圍為

（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步求出數(shù)列的前項(xiàng)和，從而可求出的取值范圍；

（3）利用定義進(jìn)行證明，再利用分類(lèi)討論思想求出結(jié)果.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得,

當(dāng)時(shí)，由得，,

所以,

,

因?yàn)?/span>,

所以,

所以，,

所以;

（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，,

由，得恒成立,

令，則,

所以,

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，,

由，得恒成立,

所以,

因?yàn)?/span>,

所以的取值范圍為.

（3）證明：當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，則，

令等比數(shù)列的公比，則，

設(shè)，

因?yàn)?/span>，

所以

,

因?yàn)?/span>為正整數(shù)，

所以數(shù)列是數(shù)列中包含的無(wú)窮等比數(shù)列，

因?yàn)楣��?/span>有無(wú)數(shù)個(gè)不同的取值，對(duì)應(yīng)著不同的等比數(shù)列，

因此無(wú)窮等比數(shù)列有無(wú)數(shù)個(gè).