Question

9．求函數(shù)f（x）=（x+1）³e^x+1的極值．

Answer 1

分析 令x+1=u，從而可得g（u）=u³e^u，從而求導(dǎo)可證明g（u）=u³e^u在（-∞，-3）上是減函數(shù)，在（-3，+∞）上是增函數(shù)；從而求極值即可．

解答 解：令x+1=u，
則函數(shù)f（x）=（x+1）³e^x+1可化為g（u）=u³e^u，
g′（u）=3u²e^u+u³e^u=u²e^u（3+u），
∴當(dāng)u＜-3時，g′（u）＜0，
當(dāng)u≥-3時，g′（u）≥0，
故g（u）=u³e^u在（-∞，-3）上是減函數(shù)，
在（-3，+∞）上是增函數(shù)；
故函數(shù)g（u）在u=-3時有極小值g（-3）=-$\frac{27}{{e}^{3}}$；
故函數(shù)f（x）=（x+1）³e^x+1的極值為g（-3）=-$\frac{27}{{e}^{3}}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的極值的求法及應(yīng)用．