Question

18．在四面體ABCD中，AB=3，BC=7，CD=11，DA=9．則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 可畫出四面體ABCD，然后作DE⊥AC，垂足為E，并且連接BE，容易得出BC²-AB²=CD²-DA²=CE²-AE²，根據(jù)余弦定理可分別表示出BC²，AB²，從而可以得出2BE•AE•cos∠AEB-2BE•CE•cos∠BEC=0，進(jìn)一步可得出cos∠BEC=0，從而得到AC⊥BE，這樣由線面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面BDE，從而得到AC⊥BD，這時(shí)便可得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的值．

解答 解：如圖，過(guò)D作DE⊥AC，垂足為E，連接BE，則：
CD²=CE²+DE²，DA²=AE²+DE²；
∴DA²-CD²=CE²-AE²；
又BC²-AB²=DA²-CD²；
∴BC²-AB²=CE²-AE²；
BC²=BE²+CE²-2BE•CE•cos∠BEC，AB²=BE²+AE²-2BE•AE•cos∠AEB；
∴BC²-AB²=CE²-AE²+2BE•AE•cos∠AEB-2BE•CE•cos∠BEC=CE²-AE²；
∴2BE•AE•cos∠AEB-2BE•CE•cos∠BEC=0；
∴2BE•AE•cos∠AEB+2BE•CE•cos∠AEB=0；
即（2BE•AE+2BE•CE）cos∠AEB=0；
∴cos∠AEB=0；
∴∠AEB=90°；
即AC⊥BE，又AC⊥DE，BE∩DE=E；
∴AC⊥平面BDE；
∴AC⊥BD；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形邊的關(guān)系，以及余弦定理，已知三角函數(shù)求值，線面垂直的判定定理，向量垂直的充要條件．