Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=4，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得a_n+1-a_n=a_n+2×3^n-1，變形為${a}_{n+1}-2×{3}^{n}$=2$（{a}_{n}-2×{3}^{n-1}）$，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+3^n-1，
a_n+1=2a_n+2×3^n-1，
變形為${a}_{n+1}-2×{3}^{n}$=2$（{a}_{n}-2×{3}^{n-1}）$，
a₂=a₁+3=7，
a₂-6=1，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}-2×{3}^{n-1}\}$從第二項(xiàng)開始是等比數(shù)列，公比為2．
a_n=2•3^n-1+2^n-2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2×{3}^{n-1}+{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．