Question

19．已知函數(shù)f（x）=（x-1）²，g（x）=alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在x=2處的切線互相垂直，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）記F（x）=f（x+1）-g（x），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)G（x）=f（x）+g（x）兩個極值點分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：G（x₂）＞$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$ln2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)兩曲線y=f（x）與y=g（x）在x=2處的切線互相垂直，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線的斜率求出a值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，由導(dǎo)數(shù)的符號，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）對f（x）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=0有兩個不同的正實根x₁，x₂，由判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系求出a的取值范圍；由x₁、x₂的關(guān)系，用x₂把a(bǔ)表示出來，求出f（x₂）的表達(dá)式最小值與$\frac{1-2ln2}{4}$比較即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意：g′（x）=$\frac{a}{x}$，∴g（x）的圖象在x=2切線的斜率為：g′（2）=$\frac{a}{2}$，
又f′（x）=2（x-1），∴f（x）的圖象在x=2切線的斜率為：f′（2）=2，
由兩曲線y=f（x）與y=g（x）在x=2處的切線互相垂直得：$\frac{a}{2}$=-$\frac{1}{2}$，∴a=-1；
（Ⅱ）F（x）=f（x+1）-g（x）=x²-alnx，（x＞0）
∴F′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≤0時，F(xiàn)′（x）＞0，即有F（x）在（0，+∞）遞增；
當(dāng)a＞0時，F(xiàn)′（x）＞0，可得x＞$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，F(xiàn)′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，
綜上可得，當(dāng)a≤0時，函數(shù)F（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)F（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2}$）上為減函數(shù)；函數(shù)F（x）在（$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ）證明：由題意，G（x）=x²-2x+1+alnx的定義域為（0，+∞），
∴G′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+a}{x}$；
∵G（x）有兩個極值點x₁，x₂，
∴G′（x）=0有兩個不同的正實根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判別式△=4-8a＞0，解得a＜$\frac{1}{2}$；
方程的兩根為x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$；
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{a}{2}$＞0，
∴a＞0；
綜上，a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）．
∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，
∴$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，a=2x₂-2x₂²，
∴G（x₂）=x₂²-2x₂+1+（2x₂-2x₂²）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中$\frac{1}{2}$＜t＜1，
則g′（t）=2（1-2t）lnt．
當(dāng)t∈（$\frac{1}{2}$，1）時，g′（t）＞0，
∴g（t）在（$\frac{1}{2}$，1）上是增函數(shù)．
∴g（t）＞g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-2ln2}{4}$．
故G（x₂）=g（x₂）＞$\frac{1-2ln2}{4}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值與利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立的問題，是容易出錯的題目．